Основная литература

1. Громенко В.М. Математические методы исследования экономики. – М.: ЗАО “Финстатинформ”, 2000.
2. Замков О.О. и др. Математические методы в экономике. – М.: “Дело и сервис ”, 2001.
3. Колемаев В.А. Математическая экономика. – М.: Юнити, 1998.

Дополнительная литература

4. Агапова Т.А., Серегина С.Ф. Макроэкономика. – М.: “ДИС”, 1997.
5. Белова Л.А. О соотношении динамики внутренних цен и динамики валютного курса. – М.: Вопросы экономики, №11, 1994
6. Котов Н.В. и др. Моделирование народнохозяйственных процессов. – Л.: ЛГУ, 1990.
7. Кассель Г. Инфляция и валютный курс. – М.: Эльф пресс, 1995.
8. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. – М.: Издательство “Изограф”, 1997.

4. СОДЕРЖАНИЕ ТЕМ ПРОГРАММЫ

Введение. Методы изучения и методология моделирования  национальной экономики

Методы построения графиков, исследование функции одной или нескольких переменных, нахождение безусловных и условных экстремумов, статистические методы и т.д.

Понятие экономической модели, ее основные элементы, последовательность построения. Методология моделирования национальной экономики.

Литература 2: с. 11-18

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое математическая модель экономического объекта?
2. Как построить математическую модель экономического объекта?
3. Какие переменные в модели являются экзогенными, эндогенными?
4. Расскажите о классификации математических моделей экономики.

Раздел 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ НАЦИОНАЛЬНОГО РЫНОЧНОГО

ХОЗЯЙСТВА НА МАКРОУРОВНЕ

Тема 1. Производственные функции

Понятие производственной функции. Их свойства. Основные типы. Применение производственных функций для расчета характеристик использования ресурсов.

Литература 1: с. 10-21

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение производственной функции, типы производственных функций.
2. Сформулируйте основные свойства неоклассической производственной функции.
3. Как определяются средняя и предельная производительность труда, средняя и предельная производительность фондов?
4. Какой экономический смысл коэффициентов A, a₁, a₂, мультипликативной производственной функции?
5. Дайте определение нормы замены труда фондами и нормы замены фондов трудом? Как связаны между собой эти величины?
6. Что такое изокванта и в чем состоит ее экономической смысл?
7. Что такое изоклиналь и в чем состоит ее экономический смысл?

Тема 2. Односекторная модель экономической динамики Солоу

Основные гипотезы. Описание объекта моделирования. Функциональные соотношения модели. Экзогенные и эндогенные переменные. Алгоритм исследования модели. Анализ полученных результатов.

Литература 1: с. 24-29

Вопросы для самоконтроля

1. Модель Солоу: экономическая характеристика объекта моделирования, математическая модель, экзогенные и эндогенные параметры, алгоритм исследования модели.
2. Дайте характеристику переходного и стационарного режимов в модели Солоу.
3. Сформулируйте по модели Солоу задачу о нахождении оптимальной доли инвестирования в конечном продукте, выведите “золотое правило накопления”. Как отражается на динамике удельного непроизводственного потребления отклонение фактической доли инвестирования от оптимальной?

Тема 3 Межотраслевая модель Леонтьева

Основные гипотезы. Описание объекта моделирования. Функциональные соотношения модели. Экзогенные и эндогенные переменные. Алгоритм исследования модели. Анализ полученных результатов.

Литература 1: с. 32-37

Вопросы для самоконтроля

1. Опишите объект моделирования, исходные гипотезы, модель натурального межотраслевого баланса.
2. Сформулируйте понятие и условия продуктивности и прибыльности объекта моделирования, экономические постановки задач по модели (определение объемов валового производства и объемов конечного производства в системе), алгоритм их решения.

Тема 4. Динамические модели магистрального типа (модель Неймана)

Основные гипотезы. Описание объекта моделирования. Функциональные соотношения модели. Экзогенные и эндогенные переменные. Алгоритм исследования модели. Анализ полученных результатов.

Литература 3: с. 84-89

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте характеристику объекта моделирования, исходные гипотезы, математическое описание соотношений между затратами и выпуском в динамике.
2. Сформулируйте задачу о максимальном технологическом росте, представьте алгоритм ее решения.
3. В чем суть магистральной теории?
4. Чем отличаются моделирование технологической среды в моделях Солоу, Леонтьева, Неймана?

Тема 5. Макромодель роста Харрода-Домара

Основные гипотезы. Описание объекта моделирования. Функциональные соотношения модели. Экзогенные и эндогенные переменные. Алгоритм исследования модели. Анализ полученных результатов.

Литература 2: с. 204-209

Вопросы для самоконтроля

1. Охарактеризуйте объект моделирования. Какие упрощающие гипотезы заложены в основание модели?
2. В предположении, что непроизводственное потребление растет постоянным темпом, представьте основное уравнение динамики дохода.
3. Решив уравнение, проанализируйте возможные варианты динамики параметров экономической системы при различных соотношениях между нормой накопления и темпами прироста инвестиций и непроизводственного потребления.

Тема 6. Оптимизационные модели национального рыночного хозяйства

Структурная схема объекта. Описание целевой функции и системы ограничений. Решение оптимизационной задачи. Анализ двойственной постановки.

Литература 1: с. 37-39

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулируйте постановку, модель и метод решения задачи.
2. Проведите экономический анализ двойственной постановки.

Тема 7. Модели краткосрочного прогнозирования и регулирования  национальной экономики

Классическая модель рыночной экономики. Модель “IS-LM” Хикса-Хансена взаимодействия основных рынков на макроуровне. Механизм поддержания равновесия. Контролируемая инфляция как источник роста. Роль государства в повышении занятости.

Литература 3: с. 132-141

Вопросы для самоконтроля

1. Расскажите о механизме взаимодействия рынков товара, рабочей силы и денег в классической модели экономики.
2. Какой рынок играет ключевую роль в классической модели?
3. Какие исходные гипотезы классической модели вступили в противоречие с практикой развития капиталистического рыночного хозяйства в начале XX века?
4. Исходные гипотезы и характеристика объекта моделирования в модели Хикса-Хансена краткосрочного прогнозирования рыночной экономики.
5. Экономическое описание и моделирование рынков товара, труда и денег в модели Хикса-Хансена. Какой рынок играет ключевую роль?
6. Какие экономические параметры восстанавливают равновесие на товарном и денежном рынках?
7. По модели Хикса-Хансена обоснуйте необходимость и механизм государственного регулирования рыночной экономики для борьбы с безработицей.

Раздел 2. МОДЕЛИ РАЗВИТИЯ ОТДЕЛЬНЫХ СЕКТОРОВ И СФЕР НАЦИОНАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКИ

Тема 8. Моделирование сферы потребления

Отношения предпочтения между потребительскими наборами. Функция полезности. Задача потребительского выбора. Решение задачи методом Лагранжа.

Уравнение Слуцкого. Классификация товаров.

Литература 1: с. 91-101

Вопросы для самоконтроля

1. Что отражает функция полезности?
2. Дайте определение бюджетного множества потребителя.
3. Сформулируйте задачу потребителя, ее модель, алгоритм решения задачи.
4. Что отражают функции оптимального спроса потребителя, как на их основе вводится классификация товаров?
5. Дайте графическую иллюстрацию решения задачи потребителя.
6. Напишите уравнение Слуцкого и раскройте экономический смысл его составляющих.
7. На что нацелена бюджетная компенсация, как определить ее объем?
8. Дайте графическую иллюстрацию определения оптимального спроса на товары при изменении цены на товар в условиях бюджетной компенсации.
9. Какие товары называются взаимозаменяемыми, какие – взаимодополняемыми? Приведите примеры.

Тема 9. Модели предприятий и стратегического планирования их развития

Типовые постановки задач предприятий и их модели. Функции спроса на ресурсы. Функции предложения продукции. Моделирование реакции производителя на изменение цены выпуска, цен ресурсов.

Литература 3: с. 103-114

Вопросы для самоконтроля

1. Приведите различные постановки задач фирмы, их модели. Какие методы применяются при решении и как формулируются условия оптимальности в каждой из задач?
2. Раскройте экономический смысл условий оптимальности:

“стоимость предельного продукта равна ставке заработной платы”;

“предельные отдачи ресурсов соотносятся как их цены, при этом расходуются все денежные средства”;

“предельный доход равен предельным издержкам”.

3. В чем экономический смысл множителя Лагранжа для задачи фирмы с ограниченными денежными ресурсами?
4. Что отражают функции оптимального спроса на ресурсы?

Тема 10. Динамическая модель взаимодействия спроса и предложения

Модель взаимодействия спроса и предложения с дискретным временем и запаздыванием предложения. Графическая иллюстрация процесса взаимодействия. Исследование процесса на сходимость.

Литература 8: с. 61-68

Вопросы для самоконтроля

1. Проанализируйте на модели процесс взаимодействия производителя и потребителя в рыночной экономике.
2. Как осуществляется механизм обратной связи?
3. Дайте графическую иллюстрацию процесса взаимодействия.
4. При нарушении каких условий рыночный механизм ценообразования разбалансирует экономическую систему?

Тема 11. Моделирование механизма ценообразования и его роль в сбалансировании экономической системы

Концепции моделирования цен. Моделирование процесса формирования цен производства. Модель формирования рыночных цен равновесия, их регулирующая функция.

Литература: постановочная лекция

Вопросы для самоконтроля

1. Концепции моделирования цен. Корректно ли выражение: “Цена определяется предельной полезностью товара”? На какие противоречия наталкивается интерпретация Леонтьевым цен на труд и продукцию с использованием таких характеристик, как двойственные оценки продукции и труда?
2. Модель цены на продукцию производителя на микроуровне.
3. Модель цены на продукцию производителя на макроуровне.
4. Почему механизм нащупывания рыночных цен равновесия является механизмом саморегуляции экономической системы?
5. Каким критерием следует руководствоваться при оценке сбалансированности (разбалансированности) цен на продукцию?

Тема 12. Моделирование налогообложения

Моделирование налогообложения как механизма перераспределения доходов. Тенденции налогообложения в странах развитой рыночной экономикой. Отражение налоговых отчислений в ценах производства. Факторы снижения налогового бремени.

Литература: постановочная лекция

Вопросы для самоконтроля

1. Модель расчета интегральной ставки налогообложения.
2. Факторы, определяющие уровень налогообложения.
3. Какие трансформации в экономической системе объективно приводят к снижению налогового бремени?
4. В чем главные отличительные особенности налоговых систем стран с развитой рыночной экономикой и России?

Тема 13. Моделирование инфляционного процесса

Модель инфляционного процесса “заработная плата – цены”. Регулирующее воздействие государства по сдерживанию роста цен.

Литература: постановочная лекция

Вопросы для самоконтроля

1. Модель инфляционного процесса “заработная плата – цены”.
2. Кто имеет преимущества в завышении цены труда и почему?
3. В чем суть инфляционного процесса “заработная плата – цены”?
4. Какие направления регулирующего воздействия государства способны остановить инфляционный процесс?

Тема 14. Моделирование стагфляционного процесса

Модель стагфляционного процесса. Регулирующее воздействие государства по преодолению разбалансированности на рынках труда, товаров и денег.

Литература: постановочная лекция

Вопросы для самоконтроля

1. Модель стагфляционного процесса.
2. Раскройте механизм снижения спроса на рынке товаров и труда в условиях роста цен.

Тема 15. Моделирование влияния валютной политики государства на национальную экономику

Модель формирования валютного курса в процессе взаимодействия экспортеров и импортеров. Регулирующее воздействие государства на курс. Роль внешних займов в поддержании курса национальной денежной единицы и конкурентоспособности национального производства.

Литература 5: с. 74 – 80, постановочная лекция

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение валютного курса и курса рубля.
2. Как определяются паритеты покупательной способности валюты к рублю по конкретным товарам?
3. Опишите математически условия прибыльности операций по экспорту, импорту.
4. В какой динамике валютного курса заинтересованы экспортеры, импортеры?
5. Как займы влияют на национальную экономику?

5. КОНТРОЛЬНЫе задания и МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к их выполнению

Номер варианта определяется по сумме двух последних цифр студенческого билета.

Контрольное задание состоит из двух частей.

Часть I по разделу 1

 “Моделирование национального рыночного хозяйства на макроуровне”

Исходные данные для выполнения части I контрольного задания приведены в таблице 1.

1. Расчет по модели Солоу.

Объект моделирования: система, производящая один агрегированный продукт.

Исходные данные:

• фактор шкалы      А
• доля материальных затрат в совокупном продукте a
• коэффициент эластичности выпуска по затратам фондов α
• доля инвестирования в конечном продукте      ρ
• доля износа фондов      μ
• темп роста трудовых ресурсов      ν

В предположении, что технология описывается производственной функцией Кобба-Дугласа, найдите фондовооруженность труда, производительность труда и удельное потребление в стационарном режиме. Раскройте понятие и найдите значение оптимальной доли инвестирования.

2. Расчет по модели Леонтьева “Затраты – выпуск”.

Объект моделирования: система, производящая два продукта.

Исходные данные:

• матрица прямых затрат продукции:
• вектор конечного выпуска:
• Проверить модель на продуктивность.
• Если продуктивна, найти валовые выпуски отраслей, межотраслевые потоки, составить таблицу межотраслевого баланса.

3. Расчет по модели Неймана.

Объект моделирования: система, производящая два продукта с применением двух производственных способов.

Исходные данные:

• матрица затрат продукции:
• матрица выпуска продукции:
• вектор запаса продуктов на начало моделирования:
• вектор цен на продукцию:

Найти интенсивности применения производственных способов, которые позволяют в конце первого периода получить продукцию максимально возможной стоимости.

Таблица 1

Исходные данные для контрольного задания  по разделу 1:

“Моделирование национального рыночного хозяйства на макроуровне”

Методические указания к выполнению части I контрольного задания по разделу

“Моделирование национального рыночного хозяйства на макроуровне”

1. Исходные данные для модели Солоу:

• фактор шкалы А=3
• доля материальных затрат в совокупном продукте a=0,2
• коэффициент эластичности выпуска по затратам фондов      α=0,60
• доля инвестирования в конечном продукте      ρ=0,50
• доля износа фондов      μ=0,15
• темп роста трудовых ресурсов      ν=0,02

В стационарном режиме:

фондоворуженность труда

производительность труда

удельное непроизводственное потребление

Оптимальная доля инвестирования позволяет обеспечить максимально возможный при заданной технологии уровень удельного непроизводственного потребления в стационарном режиме.

Если технология описывается производственной функцией Кобба-Дугласа, то оптимальная доля инвестирования равна эластичности выпуска по затратам фондов

Это означает – 60% стоимости конечного продукта должно инвестироваться.

2. Исходные данные для модели «Затраты – выпуск»:

• матрица прямых затрат продукции:
• вектор конечного выпуска:

• Проверим объект на продуктивность.

В матрице прямых затрат продукции нет нулевых элементов, следовательно она неразложима. Применим третий признак проверки на продуктивность.

0,20+0,60<1

0,30+0,40>1

Следовательно объект продуктивен.

• Найдем матрицу валовых удельных выпусков согласно алгоритму:
• Найдем валовые выпуски отраслей:
• Рассчитаем межотраслевые потоки:
• Составим таблицу межотраслевого баланса

3.Исходные данные для расчета по модели Неймана.

• матрица затрат продукции:
• матрица выпуска продукции:
• вектор запаса продукции на начало моделирования:
• вектор цен на продукцию:

1) Введем вектор интенсивностей применения технологий:

2) Составим модель задачи:

• Решим задачу графически:

Y₂

5

3

6            7                  Y₁

Оптимальные интенсивности применения технологий составят:

Максимальная стоимость произведенной продукции к концу первого периода:

Часть II по разделу 2

“Модели развития отдельных секторов и сфер национальной экономики”

Исходные данные для выполнения части II контрольного задания приведены в таблице 2.

1. В пространстве трех товаров рассмотреть бюджетное множество при векторе цен (р_1,, р₂, р₃) и доходе М. Описать его границу с помощью обычных и векторных неравенств и равенств. Изобразить бюджетное множество и его границу графически. Каков объем бюджетного множества?

2. Для потребителя с функцией полезности U (x₁, x₂) найти в общем виде функцию спроса. Найти точку спроса при ценах (р_1,, р₂) и доходе М.

3. Для функции спроса из задания 2 найти, на сколько процентов изменится спрос на первый товар при увеличении цены на второй товар на один процент при компенсации дохода. Ответ дать в общем виде и для точки спроса из задания 2.

4. Технология описывается мультипликативной производственной функцией. Чтобы увеличить выпуск продукции на α процентов, надо увеличить основные фонды на β процентов или численность работников на γ процентов. В настоящее время одни работник за месяц производит продукции на S рублей, а всего работников L. Основные фонды оцениваются в K рублей. Найти параметры производственной функции.

5. Объем сбыта Y зависит от назначаемой цены Р по формуле: Y=Y(P). Издержки зависят от объема выпуска: I=I(Y). По критерию максимальной прибыли найти оптимальный объем производства, значение прибыли и издержек.

Таблица 2

Исходные данные для контрольного задания по разделу 2:

“Модели развития отдельных секторов и сфер национальной экономики”

Методические указания к выполнению

части II контрольного задания по разделу

“Модели развития отдельных секторов и сфер национальной

экономики”

1. В пространстве трех товаров рассмотреть бюджетное множество при векторе цен (р_1,, р₂, р₃) и доходе М. Описать его границу с помощью обычных и векторных неравенств и равенств. Изобразить бюджетное множество и его границу графически. Каков объем бюджетного множества?

Р=(3, 2, 8)       М=24

Решение.

G – граница бюджетного множества;

B – бюджетное множество;

                                           x₃

                       (0, 0, М/р₃)        3

             (0, М/р₂, 0)                                  8                                       x₁

               12                                           (М/р₁, 0, 0)

              x₂

V_B – объем бюджетного множества

2. Для потребителя с функцией полезности U (x₁, x₂) найти в общем виде функцию спроса. Найти точку спроса при ценах (р_1,, р₂) и доходе М.

При оптимальном спросе на товары:

• предельные полезности благ соотносятся как их цены;
• расходуются все денежные средства;

Решая систему, находим функции спроса в общем виде:

Спрос на товары при заданных ценах и доходе:

3. Для функции спроса из задания 2 найти, на сколько процентов измениться спрос на первый товар при увеличении цены на второй товар на один процент при компенсации дохода. Ответ дать в общем виде и для точки спроса из задания 2.

Требуется  найти показатель эластичности:

1. Технология описывается мультипликативной производственной функцией. Чтобы увеличить выпуск продукции на α процентов, надо увеличить основные фонды на β процентов или численность работников на γ процентов. В настоящее время одни работник за месяц производит продукции на S рублей, а всего работников L. Основные фонды оцениваются в K рублей. Найти параметры производственной функции.

α = 2;  β = 5; γ = 4;  S = 10⁶;  L = 2²;  K = 10⁵.

Показатели эластичности выпуска по затратам факторов составят:

Для нахождения фактора шкалы воспользуемся уравнением:

Производственная функция имеет вид:

2. Объем сбыта Y зависит от назначаемой цены Р по формуле: Y=Y(P). Издержки зависят от объема выпуска: I=I(Y). По критерию максимальной прибыли найти оптимальный объем производства, значение прибыли и издержек.

оптимальный объем производства:

y^*=4

оптимальная прибыль:

оптимальные издержки: