ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЙ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1.

За некоторый период времени количество акций у гражданина Иванова увеличилось на 15 процентов. На сколько процентов увеличилась общая стоимость акций этого гражданина, если цена каждой его акции возросла на 20 процентов?

Решение

Пусть X и P₁ – начальные значения числа акций и их цен, А и В – значения относительного изменения числа акций и цен соответственно, R₁ и R₂ – суммарная стоимость акций до и после повышения цен. Тогда в силу условия имеем: R₁ = P₁ X,  R₂=(1+A) P₁(1+A)X.  Из этих соотношений следует, что относительное изменение суммарной стоимости акций равно

d = (R₂ – R₁)/R₁ = (1 + А)(1 + В) – 1 = А + В + АВ.

Так как по условию задачи А=0,2, В=0,15, то d = 0,2 + 0,15 + 0,2´0,15 = 0,38.

Ответ: 38 процентов.

Задача 2.

Отпускная цена виноградного вина складывается из оптовой цены и акциза (один из видов налога). Оптовая цена одной бутылки «Рислинга» равна 1000 руб., а ставка акциза (отношение акциза к отпускной цене) составляет 46,5 процентов. Вычислить отпускную цену одной бутылки «Рислинга» и величину акциза.

Решение

Пусть Р₁ и Р₂ – отпускная и оптовая цены одной бутылки соответственно, a – ставка акциза, Х – акциз. Тогда из условия задачи получаем P₁= Р₂ + Х,

 где Х = aP₁.  Из этих соотношений следует  P₁(1-a)= P₂, откуда получаем

P₁ = P₂/(1-а),   Х = аP₂/(1-а) = P₁ – P₂.

Поскольку в рассматриваемой задаче P₂ = 1000, а = 0,465, то

P₁ = 1000/(1-0,465) = 1869,   Х = 1869 – 1000 = 869.

Ответ: 1869; 869.

Задача 3.

Первого января 1994 г. некто положил в банк сумму в 500 тыс. рублей из расчета 60 процентов годовых. Известно, что сумма вклада растет линейно (простые проценты). Какова сумма вклада на 1 июня того же года?

Решение

Обозначим через S₀, S_T и S_t сумму вклада в начальный момент (в данном случае 1-го января), через год и на момент времени t соответственно. Тогда по условию задачи имеем: (S_T – S₀)/S_T = А,  где А – учетная ставка (в данном случае А=0,6). Из полученного уравнения следует , что S_T = (1 + А)S₀. Значение суммы вклада на момент времени t можно получить из уравнения прямой, проходящей через две точки M(0,S₀) и N(T,S_T): (S_t – S₀)/t = (S_T – S₀)/T, откуда следует S_t = (1 + Аt/T)S₀.

Поскольку в данном примере t/T=5/12, то значение суммы вклада на      1 июня составит 500(1+0,6´5/12) = 625 (тыс. руб.).

Ответ: 625 тыс. руб.

Задача 4.

Спрос на некоторый товар при цене 100 руб. за 1 ед. равен 1500 ед., а при цене 150 руб. за 1 ед. – 1200 ед. Предполагая, что спрос линейно зависит от цены, а) вывести уравнение функции спроса и б) определить спрос при цене 120 руб. за 1 ед.

Решение

Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид

Y=Y₁+ K´(X-X₁), где  K = (Y₂-Y₁)/(X₂-X₁).

Поэтому для линейной функции спроса в силу условия задачи получаем:

Q=Q₁+K´(P-P₁) , K=(Q₂-Q₁)/(P₂-P₁)

где P1=100; P2=150; Q1=1500; Q₂=1200. Поэтому Q=1500-6´(P-100) и, таким образом, функция спроса имеет вид

Q=2100-6´P.

Из этого уравнения следует, что при P=120 спрос составит

                     Q(120) = 2100-6´120 = 1380 (ед.)

Ответ: а) Q=2100-6´P; б) при P=120 Q=1380.

Задача 5.

Функция спроса в модели национальной экономики имеет вид C=180+0,3Y, где Y – национальный доход. Спрос на инвестиции равен I=40,правительственные расходы составляют G=60. Определить уровни равновесных значений национального дохода Y и потребления С.

Решение

Условие равновесия национальной экономики имеет вид Y=C+I+G. Подставляя в это выражение данные задачи, получаем Y=180+0,3Y+40+60, откуда следует 0,7´Y=280 и, таким образом, Y=400, С=180+0,3´400=300.

Ответ: Y=4400, C=300.

Задача 6.

Построить бюджетное множество, которое отражает покупательные возможности потребителя двух товаров, если на приобретение этих товаров расходуется не более 10000 руб. Известно, что цены товаров равны 250 руб. и 500 руб. соответственно.

Решение

Если первый товар покупается в количестве X единиц, а второй – в количестве Y единиц, то условие задачи можно записать так:

(*)     0 £ X,    0 £ Y,    P₁X + P₂Y  £  M,

где по условию P₁=250 руб./ед., P₂=500 руб./ед., M=10000 руб.

Равенство P₁X + P₂Y = M задает на плоскости XOY прямую, которая отсекает на координатных осях отрезки длиной М/P₁ и М/P₂ (бюджетная линия). Неравенства (*) определяют треугольник OAB, который и представляет собой в данной задаче бюджетное множество. Точки A и B имеют координаты (М/P₁;0) и (0;М/P₂) соответственно (см. рис.1). Верхняя граница бюджетного множества ‑ бюджетная линия, уравнение которой имеет вид 25X + 50Y = 1000; при  Х=0   Y=20 ед., а при  Y=0   Х=40 ед. Отметим, что тангенс угла наклона бюджетной линии равен tgC=P₁/P₂=0.5.

Задача 7.

Функция полных издержек некоторой фирмы задана уравнением C(Q)=2Q+1000(тыс. руб.), где Q – объем производства (число единиц продукции). При этом цена производимой продукции на рынке равна Р=4 тыс. руб. за ед. продукции. При каких значениях объема производства прибыль фирмы положительна.

Решение

В данном случае прибыль фирмы (I) определяется как сумма доходов (выручка от продажи) минус полные издержки производства. Поэтому
I(Q) = 4Q -(2Q + 1000). Условие безубыточности: 2Q – 1000 > 0, приводит к решению Q>500. Итак, при Q<500 прибыль отрицательна (в этом случае издержки производства превосходят выручку от продажи), а при Q>500 прибыль положительна (выручка от продажи превосходит издержки производства).

Ответ: Q>500

Задача 8.

Функция спроса имеет вид Q=2100-6´P. Вывести уравнение функции дохода и построить графики этой функции и кривых среднего Y=AR(Q) и предельного дохода Y=MR(Q).

Решение

Функция дохода R=R(Q) определяет объем выручки от продаж в зависимости от объема выпуска продукции. Поскольку максимальная цена, при которой может быть продан товар в количестве Q, определяется при помощи функции спроса Q=Q(P), для функции дохода получаем R=P(Q) ´Q. В нашем случае из так как Q=2100-6´P, получаем P=(2100-Q)/6=350-Q/6, откуда следует R(Q)=P´Q=(350-Q/6) ´Q. Итак, R=R(Q) в рассматриваемой задаче представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Корнями функции R=R(Q) является Q1=0 и Q2=2100. Максимум функции достигается при Q0=1050, причем Rmax=(1050´1050)/6=183750$.

Средний доход – доход, отнесенный на единицу продукции, т.е. AR=R(Q)/Q=P(Q). Предельный доход – прирост дохода, соответствующий единичному приросту выпуска продукции. В первом приближении предельный доход MR равен первому дифференциалу функции дохода, соответствующему единичному приращению аргумента dQ=1, т.е. производной функции полного дохода.  Это следует из MR =(dR/dQ)dQ = (dR/dQ) = R’(Q).

Для среднего и предельного доходов при линейной функции спроса (в этом случае P(Q)=a-bQ и R(Q)=aQ-bQ2  получаем:

AR = P(Q) = a-bQ;  MR = R’(Q)=a-2bQ.

Последнее означает, что линии предельного и среднего дохода отсекают на оси ординат равные отрезки длиной «а», а на оси абсцисс отрезок, отсекаемый линией средних издержек, вдвое превосходит отрезок, отсекаемый линией предельных издержек. В данной задаче AR(Q)=350-Q/6, MR(Q)=350-Q/3; графики этих функций приведены на рис.2 а) и б).

Ответ: R( Q)=( 2100-Q) ´Q/6

Задача 9 .

Кривая «затраты-выпуск» (функция полных издержек) имеет вид C=(Q2+Q+100000)/10. Построить графики функций полных издержек Y=C(Q), предельных издержек Y=MC(Q) и средних издержек Y=AC(Q).

Решение

Средние издержки равны затратам, отнесенным на единицу продукции, то есть в нашем случае AC(Q)=C(Q)/Q=(Q+1+100000/Q)/10. Предельные издержки – прирост затрат, соответствующий единичному приросту выпуска продукции, т.е. MC=dC(Q)/dQ=C’(Q)=(2Q+1)/10. Графики функций Y=MC(Q) и Y=AC(Q) (рис.3.б) удобно представить под графиком функции Y=C(Q) (рис.3.а). Графиком функции Y=MC(Q) является прямая, а графиком функции Y=AC(Q) – гипербола с наклонной асимптотой  Y=(Q+1)/10. При этом наклонная асимптота гиперболы и прямая предельных издержек пересекаются в точке, лежащей на оси ординат.

Минимум функции средних издержек Y=AC(Q) определяется из условия AC’(Q)=0, откуда получаем (Q+1+100000/Q)¢= 1-100000/Q2 = 0, вследствие чего минимум средних издержек достигается при Qm=100´100.5. Отметим, что AC=tg(а), где а – угол между лучом OA и положительным направлением оси Q. Как видно из рис.3.а, угол «a» при Q<Qm уменьшается при увеличении Q, а при Q>Qm – возрастает. В точке минимума функции Y=AC(Q) луч OA совпадает с касательной к графику функции Y=C(Q). Поэтому графики функций Y=MC(Q) и Y=AC(Q) (рис.3б)) пересекаются в точке N, имеющей ту же абсциссу, что и точка M на рис.3а).

Задача 10.

Заданы функции дохода и полных издержек фирмы: R(Q)=(350-Q/6) ´Q,
C(Q)=( Q2+ Q+ 100000)/10. Требуется  1) определить, при каком объеме выпуска продукции достигается максимум прибыли; 2) построить графики функций (а) дохода, (б) издержек, (в) прибыли; 3) построить кривые (а) средних и предельных издержек; (б) среднего и предельного дохода.

Решение

Прибыль (I) фирмы определяется как разность между доходом и полными издержками. Поэтому I(Q) = R(Q) – C(Q), и из необходимого условия экстремума I’(Q)=0 получаем R’(Q) = C’(Q), т.е. в точках экстремума прибыли должно выполняться условие MR(Q) = MC(Q). Этот факт демонстрируется на графиках, изображенных на рис.4а и 4б. На первом из них построены графики функций дохода (1), издержек (2) и прибыли (3). Так как здесь прибыль     I=(350-Q/6)Q-(Q2+ Q+100000)/10, то графиком функции прибыли является парабола, ветви которой направлены вниз. Максимальное значение прибыли достигается при Q=Q2. На рис.4.б построены кривые средних (1) и предельных (2) издержек, среднего (3) и предельного (4) дохода. Как видим, линии (2) и (4) на рис.4.б пересекаются при Q=Qe. При Q₁<Q<Q5 прибыль I>0; при Q=Q2 прибыль I=Imax, при Q=Q3 доход от продаж R=Rmax; при Q=Q4  MC=AC.

Задача 11.

Зависимость спроса от цены имеет вид Q = 500 + 200/P. Построить график функции спроса.

Решение.

Функция Q=Q(P) представляет собой гиперболу (см.рис.5). Поскольку Q’(P) = -200/P2 < 0, с ростом цены происходит падение спроса. Горизонтальной асимптотой является  прямая Q=500, вертикальной асимптотой – прямая P=0. Отметим, что функции спроса, заданные в виде гипербол с горизонтальными асимптотами, используются в теории потребления под названием «кривые Торнквиста» для определения спроса на товары первой необходимости, повседневного спроса и предметы роскоши.

Задача 12.

Зависимость спроса от дохода имеет вид
Q = 500 – 400´e-М. Построить график функции спроса.

Решение

Данная функция спроса Q=Q(М) представляет собой монотонно возрастающую экспоненциальную функцию,

т.к. Q’(М)=400´e-М>0. Горизонтальной асимптотой является прямая

 Q = 500, при М=0  спрос равен Q=100. График обращен выпуклостью вверх (см. рис.6), поскольку Q’’(M) = – 400´e-М < 0.

Задача 13.

Функция спроса имеет вид Q=200/(P0,5). Найти уравнение зависимости коэффициента эластичности от цены.

Решение

Коэффициент эластичности функции y=f(x) показывает, на сколько процентов изменяется значение функции при изменении аргумента на один процент: e = (dy/y):(dx/x). При малых изменениях аргумента эта формула может быть преобразована к виду e = (x/y) ´y’(x). Для вычисления коэффициента эластичности заданной функции имеем:

e = – (P/Q) ´200´0,5/(P1,5) =  – (P1,5/200) ´200´0,5/P1,5 = – 0,5.

Итак, коэффициент эластичности заданной функции спроса равен e=-0,5.

Отметим, что если рассматривается степенная функция y=Axb, то ее коэффициент эластичности в силу соотношений lny = lnA + B´lnx, y’/y = B/x равен e = xy’/y = B. В рассматриваемой задаче B=-0,5; это число и равно коэффициенту эластичности.

       Ответ: e = -0,5

Задача 14.

Спрос на некоторый товар при цене Р=1000 руб. равен 200 ед. Определить спрос на этот товар при цене Р=1250, если коэффициент эластичности функции спроса равен e = -1.

Решение

Функция спроса в силу условия имеет вид Q=А/P. Поскольку 200=А/1000, то А=200000. Следовательно, при Р=1250 спрос равен Q=200000/1250=160.

Ответ: 160.

Задача 15.

Функция постоянных издержек двухпродуктовой фирмы задана уравнением

С = X2 + 4Y2 + 100, где Х и Y – объемы выпуска товаров вида А и В соответственно. На плоскости XOY построить 1) линию постоянных издержек С=1000; 2) множество производственных возможностей, ограниченное издержками производства в объеме С=1000.

Решение.

Поскольку из равенства X2+4Y2+100=1000 следует X2+4Y2=900, т.е. X2/900+Y2/225=1, то на плоскости ХОY линия постоянных издержек (кривая производственных возможностей) С=1000 задает эллипс, оси которого лежат на осях координат. При этом эллипс отсекает на осях X и Y отрезки Х=30, Y=15. Множество производственных возможностей, ограниченное издержками производства в объеме С=1000, определяется неравенствами X2/900+Y2/225£1, 0£X, 0£Y, которые задают криволинейный треугольник (первая четверть эллипса) (см. рис. 7).

Задача 16.

Производственная функция однопродуктовой фирмы, использующей два вида ресурсов – труд (L) и капитал (K), имеет вид Q = 10L0.5K0.5

Построить линии уровня этой функции (изокванты), соответствующие значениям выпуска продукции в объемах Q = 10, Q = 20 и Q = 30 ед.

Решение.

Преобразовав уравнение производственной функции, получаем LK=(Q/10)2. Поэтому для изокванты Q=10 получаем уравнение LK=1 или K=1/L. Точно так же для изокванты Q=20 получаем К=4/L, а для изокванты

Q=30 – K=9/L. Графики этих изоквант (в данном случае гипербол) изображены на рис.8.

Задача 17.

Функция полных издержек двухпродуктовой фирмы задана уравнением С=X2+4Y2+100, где Х и Y – объемы выпуска товаров вида А и В соответственно. Цены этих товаров на рынке равны Р1=40 и Р2=64. Определить, при каких издержках достигается максимум прибыли фирмы.

Решение

Поскольку прибыль равна разности между доходом от продаж и полными издержками производства, то I=Р1X+Р2Y–C. В силу условия задачи имеем I=40X+64Y-(X2+4Y2+100). Это выражение преобразуется к виду

I=-(X-20)2+400-4(Y-8)2+256-100=-(X-20)2-4(Y-8)2+556,

откуда следует, что I £ 556. Максимальное значение прибыли I=556 достигается при X=20 и Y=8; издержки производства и выручка от продажи, соответствующие этим значениям объемов производства, составят: С(20,8)=400+4´64+100=756;    R(20,8)=40´20+64´8=800+512=1312.

Ответ: С=756

Задача 18.

Фирма производит товар двух видов в количествах X и Y. Функции полных издержек фирмы и спроса на каждый из этих товаров заданы в виде: C=2X+4Y+1, Р1(X)=20-X, Р2(Y)=30-Y, где Р1 и Р2 – соответствующие цены.    Определить, при каких объемах выпуска продукции достигается максимум прибыли, если полные издержки не превосходят С=61.

Решение.

Функция прибыли в данном случае зависит от двух переменных:

I=R(X)+R(X)-C(X,Y)=20X–X2+30Y–Y2-2X-4Y-1=249-(X-9)2-(Y-13)2.

Таким образом, максимум прибыли I=249 достигается при X=9 и Y=13. Однако объем производства X=9 и Y=13 не достижим, поскольку соответствующие ему издержки производства составляют С(9,13)=2´9+4´13+1=71>61. Так как линии уровня функции прибыли представляют собой концентрические окружности с центром в точке А(9;13), то решение задачи достигается на линии C=2X+4Y+1, т.е. в точке В  (см. рис.9).

Для формального нахождения координат точки В составим функцию

Лагранжа   L=20X–X2+30Y–Y2-M(2X+4Y+1-61), где M ‑ множитель Лагранжа. Из необходимого условия экстремума этой функции (20-2X=2M, 30-2Y=4M) получим Y=2X-5, откуда с учетом 2X+4Y=60 следует X=8, Y=11. При этом оптимальное значение прибыли равно 244, издержки производства составляют С(8,11)=2´8+4´11+1=61, а доход от продаж R(8,11)=12´8+19´11=305.

 Ответ: X=8, Y=11.

Задача 19.

Динамика процентной ставки r в классической макромодели определяется уравнением dr/dt = (I( r )-S( r ))/6, где функции инвестиций I и сбережений S заданы в виде I( r ) = 20000 – (r – 0,1)/10,  S( r ) = 20000 + (r – 0,1)/5. Вывести уравнение динамики процентной ставки r=r(t), если при t=0 ее значение равно r=0,13. Определить уровень процентной ставки r при t=20.

Решение

Из условия задачи следует  dr/dt =-0,05´(r – 0,1), откуда получаем

d(r-0,1)/(r -0,1)=-dt/20, что приводит к следующему решению:

r(t) = 0,1 + 0,03´exp(-t/20).

Подставляя в полученное решение t=20, получаем r(20) = 0,1 + 0,03/e » 0,11.

Ответ: r( 20)»0,11.

Задача 20.

Динамика основных производственных фондов некоторой отрасли определяется уравнением dK/dt = I – mK, где K – основные фонды, I – инвестиции, m – коэффициент выбытия фондов. Вывести уравнение динамики основных производственных фондов K=K(t), если инвестиции и коэффициент выбытия постоянны и равны I=50 и m=0,1 соответственно, а при t=0 объем основных фондов К=1000.

Решение

Из условия задачи следует dК/dt = 50 – 0,1´К, откуда получаем

d(К-500)/(К-500)=-dt/10, что приводит к следующему решению:

К = 500 + 500´exp(-t/10).

Ответ: K( t)=500´( 1+exp( -t/10).

VI.  КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1.

За некоторый период времени количество акций у гражданина N увеличилось на m процентов. На сколько процентов увеличилась общая стоимость акций этого гражданина, если цена каждой его акции возросла на q процентов?

• m=36, q=20;          2) m=20,      q=25;           3) m=21,       q=25;

4) m=25,    q=28;         5) m= 30,      q=34.

Задание  2.

Отпускная цена виноградного вина складывается из оптовой цены и акциза (один из видов налога). Оптовая цена одной бутылки вина равна R руб., а ставка акциза (отношение акциза к отпускной цене) составляет m процентов. Вычислить отпускную цену одной бутылки и величину акциза, если

1) R=1200,    m=30;      2) R= 1300,       m=41;      3) R=950 ,     m=28;

4) R=1050,    m=40;      5) R= 1150,       m=37 ?

Задание  3.

Первого января 1994 г. некто положил в банк сумму в M тыс. рублей из расчета q процентов годовых. Известно, что сумма вклада растет линейно (простые проценты). Какова сумма вклада через S месяцев, если
1) M=900,      q=3 ,           S= 6;        2) M=850,        q=5 ,           S=4;

3) M=700,      q=6,           S= 9;         4) M=660,        q=4 ,           S=3?

Задание  4.

Спрос на некоторый товар при цене P₁ руб. за 1 ед. равен Q₁ ед., а при цене P₂ руб. за 1 ед. – Q₂ ед. Предполагая, что спрос линейно зависит от цены, а) вывести уравнение функции спроса и б) определить спрос при цене P₃ руб. за 1 ед., если

1) P₁=20,    P₂=40,    P₃=100,    Q₁=2000,    Q₂=1700;

2) P₁=70,    P₂=90,    P₃=60,      Q₁=900,      Q₂=700;

3) P₁=400,  P₂=600,  P₃=500,    Q₁=1000,    Q₂=800;

4) P₁=400,  P₂=700,  P₃=100,    Q₁=3000,    Q₂=2300;

5) P₁=800,  P₂=300,  P₃=200,    Q₁=100,      Q₂=500.

Задание  5.

Функция спроса в модели национальной экономики имеет вид C=b+kY, где Y – национальный доход. Спрос на инвестиции равен I,  правительственные расходы составляют G. Определить уровни равновесных значений национального дохода Y и потребления С, если

1)  b=200,   k=0,5,  I=25,  G=25;         2) b=160,   k=0,7,  I=20,  G=60;

3)  b=90,   k=0,4,  I=44,  G=26;           4) b=180,   k=0,6,  I=50,  G=70;

5)  b=130,   k=0,2,  I=20,  G=46.

Задание  6.

Построить бюджетное множество, которое отражает покупательные возможности потребителя двух товаров, если на приобретение этих товаров расходуется не более M руб. Известно, что цены товаров равны P1 руб. и P₂ руб. соответственно.

• M=6000, P₁=150,    P₂=100;        2) M=5000,     P₁=200,     P₂=50;

3)  M=1800,    P₁=30,     P₂=60;           4)  M=1000,    P₁=100,     P₂=200;

5)  M=1000, P₁=25,     P₂=40.

 Задание  7.

Функция полных издержек некоторой фирмы задана уравнением C=C(Q)(тыс. руб.), где Q – объем производства (число единиц продукции). При этом цена производимой продукции на рынке равна Р тыс. руб. за ед. продукции. При каких значениях объема производства прибыль фирмы положительна, если

1) C(Q)=Q+1000,       P=50;         2) C(Q)=10Q+1000,     P=50;

3) C(Q)=Q+500,         P=20;         4) C(Q)=5Q+1500,       P=55;

5) C(Q)=6Q+1200,     P=18?

Задание  8.

Функция спроса имеет вид Q=Q(P). Вывести уравнение функции дохода и построить графики этой функции и кривых среднего Y=AR(Q) и предельного дохода Y=MR(Q), если

• Q(P)=100-5P; 2)  Q(P)=200-4P;                  3)  Q(P)=600-3P;

4)  Q(P)=100-2P;                  5)  Q(P)=300-3P.

Задание  9.

Кривая «затраты-выпуск» (функция полных издержек) имеет вид C=C(Q). Построить графики функций полных издержек Y=C(Q), предельных издержек Y=MC(Q) и средних  издержек Y=AC(Q), если

1) C(Q)= Q2+6Q+10;     2) C(Q)=2Q2+7Q+15;

2) C(Q)= Q2+Q+7;          4) C(Q)= Q2+5Q+10;

5) C(Q)= Q2+2Q+6.

Задание  10.

Заданы функции дохода R=R(Q) и полных издержек C=C(Q) фирмы. Требуется  1) определить, при каком объеме выпуска продукции достигается максимум прибыли; 2) построить графики функций (а) дохода, (б) издержек, (в) прибыли; 3) построить кривые (а) средних и предельных издержек; (б) среднего и предельного дохода, если

1) R(Q)=(90-5Q)´Q,         C(Q)=Q2+6Q+10;

2) R(Q)=(100-4Q) ´Q,      C(Q)=Q2+4Q+15;

3) R(Q)=(401-3Q) ´Q,      C(Q)=Q2+ Q+7;

4) R(Q)=(100-2Q) ´Q,      C(Q)=Q2+4Q+10;

5) R(Q)=(300-3Q) ´Q,      C(Q)=Q2+2Q+16.

Задание  11.

Зависимость спроса от цены имеет вид Q = Q(P). Построить график

функции спроса, если

1) Q(P)=100+50/3P;       2) Q(P)=200+50/P;

2) Q(P)=500+200/9P;     4) Q(P)=300+150/P;

5) Q(P)=400+100/P.

Задание  12.

Зависимость спроса от дохода имеет вид Q= Q(M). Построить график функции спроса, если

1) Q(M)=1000-500/(М+1);    2) Q(M)=1200-500/(М+2);   3) Q(M)= 200 – 100e-2М

4) Q(M)=2500-1000/(М+3);  5) Q(M)= 300 – 100e-М;        6) Q(M)= 150 – 10e-М

Задание  13.

Функция спроса имеет вид Q=Q(P). Найти уравнение зависимости коэффициента эластичности от цены, если

• Q(P)=400/(P0,2); 2) Q(P)= 200/(P0,7);      3)Q(P)=300/(P0,6);

4) Q(P)= 150/(P0,1);     5) Q(P)= 80/(P5).

Задание  14.

Спрос на некоторый товар при цене P₁ руб. равен Q₁ ед. Определить спрос на этот товар при цене  P₂, если коэффициент эластичности функции спроса равен e ₀.

• P₁=500; Q₁=100;  e₀=-1;  P₂=1000;  2)  P₁=2000;  Q₁=100;  e₀=-1;  P₂=1000;
• P₁=200; Q₁=100;  e₀=-3;  P₂=100;    4)  P₁=150;    Q₁=100;  e₀=-1;  P₂=1000;

 5)  P₁=800;  Q₁=200;  e₀=-1;  P₂=1000.

Задание  15.

Функция постоянных издержек двухпродуктовой фирмы задана уравнением C=C(X,Y), где Х и Y – объемы выпуска товаров вида А и В соответственно. На плоскости XOY построить 1) линию постоянных издержек С=C0; 2) множество производственных возможностей, ограниченное издержками производства в объеме С= C0.

1) С(X,Y)=X2+9Y2+100 ,  C₀=325;  2) С(X,Y) =9X2+4Y2+500,  C₀=150;
3) С(X,Y) =4X2+Y2+25,    C₀=250;  4) С(X,Y)= X + 4Y2 + 70,   C₀=370;
5) С(X,Y)= X + Y2 +10,   C₀=90;     6) С(X,Y)= X + 3Y2 +110,  C₀=290.

Задание  16.

Производственная функция однопродуктовой фирмы, использующей два вида ресурсов – труд (L) и капитал (K), имеет вид  Q =Q(K,L). Построить линии уровня этой функции (изокванты), соответствующие значениям выпуска продукции в объемах Q= Q₁ ед., если

1)  Q(K,L)=30L1/3K1/3,    Q₁=10;       2)  Q(K,L)=20LK1/2 ,      Q₁=15;

3)  Q(K,L)=5L1/2K ,        Q₁=20;       4)  Q(K,L)=15LK ,         Q₁=40;

5)  Q(K,L)=4L1/3K1/3,      Q₁=5.

Задание  18.

Функция полных издержек двухпродуктовой фирмы задана уравнением С=C(X,Y) , где Х и Y – объемы выпуска товаров вида А и В соответственно. Цены этих товаров на рынке равны Р1 и Р2  соответственно. Определить, при каких издержках достигается максимум прибыли фирмы, если

• C(X,Y)=X2+2Y2+200,    P1=30 и P2=50;
• C(X,Y)=2X2+4Y2+150,  P1=20 и P2=44;
• C(X,Y)=3X2+5Y2+250, P1=60 и P2=80;
• C(X,Y)= X2+6Y2+300, P1=80 и P2=144.

5)  C(X,Y)=X2+Y2+200,      P1=60 и P2=50.

Задание  20.

Фирма производит товар двух видов в количествах X и Y. Функции полных издержек фирмы и спроса на каждый из этих товаров заданы в виде: C=C(X,Y),   Р1=Р1(X),   P2=P2(Y),  где P1 и P2 – соответствующие цены. Определить, при каких объемах выпуска продукции достигается максимум прибыли, если полные издержки не превосходят С= C0.

1) C=X+2Y+2,       Р1(X)=15-X,       P2(Y)=40-Y,   C0=72;

• C=2X+2Y+4, Р1(X)=10-X,       P2(Y)=8-Y,     C0=16;
• C=4X+2Y+10, Р1(X)=30-X,       P2(Y)=40-Y,   C0=78;
• C=3X+Y+5, Р1(X)=9-X,         P2(Y)=11-Y,   C0=16;

5) C=4X+4Y+10,   Р1(X)=24-X,       P2(Y)=20-Y,   C0=74.

Задание  19.

Динамика процентной ставки r в классической макромодели определяется уравнением dr/dt = (I ( r )-S( r ))/a, где функции инвестиций I и сбережений S заданы в виде I=I( r ) , S=S ( r ). Вывести уравнение динамики процентной ставки r=r(t), если

1) a=4,  I( r ) = 2000 – (r – 0,2)/5,    S( r ) = 2000 + (r – 0,2)/5, при t=0  r=0,1;

2) a=2,   I( r ) = 3000 – (r – 0,3)/5,    S( r ) = 3000 + (r – 0,3)/5, при t=0  r=0,1;

3) a=3,  I( r ) = 1000 – (r – 0,1)/5,     S( r ) = 1000 + (r – 0,1)/5, при t=0  r=0,12;

• a=4, I( r ) = 2000 – (r – 0,2)/4,    S( r ) = 2000 + (r – 0,2)/4, при t=0  r=0,25;

5) a=2,   I( r ) = 2000 – (r – 0,2)/50,  S( r ) = 2000 + (r – 0,2)/5 , при t=0  r=0,3.

Задание  20.

Динамика основных производственных фондов некоторой отрасли определяется уравнением dK/dt = I – mK, где K – основные фонды, I – инвестиции, m – коэффициент выбытия фондов. Вывести уравнение динамики основных производственных фондов K=K(t), если

• I=50, m=0,1, а при t=0 объем основных фондов K=600,
• I=60, m=0,2, а при t=0 объем основных фондов K=200.

3) I=70,   m=0,1, а при t=0 объем основных фондов K=800.

4) I=80,   m=0,2, а при t=0 объем основных фондов K=300.

5) I=90,   m=0,1, а при t=0 объем основных фондов K=1000.

ЛИТЕРАТУРА

Основная

1.Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. – М.: Наука, 1979.

2.Колемаев В.А., Малыхин В.М., Калинина В.Н, Математическая экономика в примерах и задачах: Учебно–практическое пособие. – М.:ГАУ, 1995.

3.Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. – М.: Изограф, 1997. – 224 с.

4.Лебедев В.В., Математические задачи экономики: Учебное пособие. – М.:ГАУ, 1995.

Вспомогательная

5. Атурин В.В., Годин В.В. Сборник задач по высшей и прикладной математике (Экономика глазами математика): Учебное пособие / ГАУ. – М.:1995. – 79 с.
6. Гребенников П.И. Микроэкономика в цифрах. – СПб., 1999.- 112 с.
7. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Изд.»ДИС», 1997. – 368 с.
8. Коршунова Н.И., Плясунов В.С. Математика в экономике: – М.: Вита-Пресс, 1996. – 368 с.
9. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учебно-практическое пособие. – М.: Изд-во УРАО, 1998. – 160 с.
10. Методические материалы по экономическим дисциплинам для преподавателей средних школ и вузов: Программы, тесты, задачи, решения / Под общ. ред. Л.С. Гребнева. – М.: ГУ-ВШЭ, 2000. – 376 с.
11. Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Теория спроса, предложения и рыночных структур. – М.: Экономический факультет МГУ, ТЕИС, 1999. – 421 с.
12. Экономическая теория. Задачи, логические схемы, методические материалы / Под ред. А.И. Добрынина, Л.С. Тарасевича: Учебник для вузов. – СПб: Изд. «Питер», 1999. – 448 с.

4. СОДЕРЖАНИЕ ТЕМ ПРОГРАММЫ

Раздел 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.

Тема 1. Математическое моделирование как метод анализа социально-экономических процессов.

Математизация гуманитарных наук. Основные понятия математического моделирования. Математическая модель. Основные этапы развития математического моделирования.

Литература: [3] – стр. 5-22.

Вопросы для самоконтроля:

• Математическая модель.
• Основные этапы моделирования.

Тема 2. Особенности математического моделирования экономических процессов.

Классификация экономико–математических моделей. Проблема моделирования экономической динамики. О применении метода аналогии в экономике.

Литература: [3] – стр. 5- 22.

Вопросы для самоконтроля:

1) Классификация экономико–математических моделей.

Раздел 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОЭКОНОМИКИ

Тема 3. Моделирование поведения потребителя.

Модель Рейли – гравитационная аналогия при определении предпочтения потребителя. Логистическая функция спроса. Функция полезности. Модель поведения потребителя. Кривые «доход – потребление» и «цена – потребление» (вывод уравнения функции спроса на основе максимизации функции полезности на бюджетном множестве). Свойства функции спроса. Эластичность спроса. Кривые Торнквиста .

Литература: [3] – стр.38-60, [4] – стр.29-33.

Вопросы для самоконтроля:

1) Модель Рейли.

2) Функция полезности. Кривые безразличия.

3) Модель поведения потребителя.

4) Свойства функции спроса.

Тема 4. Модель предложения товаров.

Модель однопродуктовой фирмы и издержки производства. Предельные и средние издержки. Доход фирмы. Предельный и средний доходы. Максимизация прибыли предприятия. Функция предложения. Влияние налогов на предпринимательскую активность и кривая Лаффера.

Литература: [3] – стр.23-37, [4] – стр. 17-26.

Вопросы для самоконтроля:

1) Функция полных издержек, функция предельных издержек, функция средних издержек.

2) Функция спроса. Функция дохода, функция среднего дохода, функция предельного дохода.

3) Функция прибыли, Оптимальный выпуск. Функция предложения.

4) Зависимость предложения фирмы от размера отчисляемого налога.

5) Оптимальный размер налоговой ставки. Кривая Лаффера.

Тема 5. Моделирование динамики рыночных цен.

Рыночное равновесии. Паутинообразная модель с запаздывающим спросом. Паутинообразная модель с запаздывающим предложением. Нелинейная модель адаптации цен.

Литература: [3] – стр.61-86.

Вопросы для самоконтроля:

1) Типы динамических моделей.

2) Паутинообразная модель с запаздывающим спросом.

3) Паутинообразная модель с запаздывающим предложением.

4) Непрерывная и дискретная модели адаптации цен.

Тема 6. Влияние монополизации на цены и предложение товаров.

Чистая монополия. Ценовая дискриминация. Дуополия. Точки равновесия Курно и Стакельберга. Олигополия. Картель; выгоды производителей и потери потребителей.

Литература: [3] – стр.113-131.

Вопросы для самоконтроля:

1) Чистая монополия.

2) Точка равновесия в моделях Курно и Стакельберга.

Тема 7. Модель общего равновесия.

Проблема рационального использования производственных ресурсов. Агрегированная многофакторная производственная  функция: основные постулаты и свойства. Функции Кобба-Дугласа, с постоянной эластичностью замещения и др. Изокванты производственных функций. Задача максимизации объема выпуска при ограничении на издержки. Задача оптимального распределения ресурсов при заданном объеме выпуска. Модель двухпродуктовой фирмы, использующей два вида ограниченных ресурсов (модель 2´2). Общее равновесие экономики благосостояния (задача 2´2´2). Динамическая модель рынка двух товаров.

Литература: [3] – стр.87-106, [4] – стр. 27, 34.

Вопросы для самоконтроля:

1) Производственная функция. Изокванты.

2) Задача максимизации выпуска при ограничении на издержки.

3) Задача оптимального распределения ресурсов при фиксированном выпуске.

4) «Ящик Эджворта».

Раздел 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МАКРОЭКОНОМИКИ

Тема 8. Классическая модель макроэкономики.

Модель рынка товаров и механизм установления равновесия. Модель рынка рабочей силы. Модель рынка денег. Взаимодействие  рынков товаров, рабочей силы и денег в классической модели.

Литература: [3] – стр.132-148, [4] – стр.43-44.

Вопросы для самоконтроля:

1) Модель рынка товаров.

2) Модель рынка рабочей силы.

3) Модель рынка денег.

4) Модель взаимовлияния трех рынков.

Тема 9. Макроэкономические модели кейнсианского типа.

Упрощенная модель Кейнса; основные гипотезы; мультипликатор. Модель Кейнса взаимодействия рынков товаров и денег. «Крест Хикса» (IS-LM) и паутинообразный процесс. Обобщенная модель Кейнса – Фридмена.

Литература: [3] – стр.149-178.

Вопросы для самоконтроля:

1) Упрощенная модель Кейса. Мультипликатор.

2) Модель делового цикла.

3) «IS-LM» – модель – базовая модель рыночной экономики.

Тема 10. Классические модели долгосрочного прогнозирования

Односекторная макроэкономическая модель Солоу. Двухсекторная модель экономики.

Литература: [3] – стр.179-188, [4] –  стр.43-44.

Вопросы для самоконтроля:

• Основные гипотезы модели Солоу. Золотое правило.
• Основные гипотезы двухсекторной модели.

5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОГО ПРОЕКТА

5.1. Цели и задачи курсового проекта

Выполнение курсового проекта направлено на укрепление связи обучения студентов с практикой совершенствования управления и  принятия решений.

В процессе работы над курсовым проектом студент не только закрепляет и углубляет теоретические знания, но и учится применять математические методы при постановке и решении конкретных экономических задач.

Цель курсового проекта – подготовить студента к самостоятельному проведению операционного исследования, основными этапами которого являются построение математической модели, решение задачи при помощи модели и анализ полученных результатов.

5.2. Задание на курсовой проект

Задание 1. Составить математическую модель однопродуктовой фирмы и сформулировать задачу принятия решения. Исходные данные (функции полных затрат фирмы и спроса на произведенный фирмой продукт) взять из приложения 1.

Построить графики полных затрат, предельных и средних затрат фирмы.

Построить графики дохода, предельного и среднего дохода фирмы.

Определить объем безубыточного производства. Построить графики полных затрат, дохода и прибыли фирмы.

Определить объем оптимального выпуска. Построить графики прибыли, предельных затрат и предельного дохода фирмы.

Задание 2. Составить математическую модель однопродуктовой фирмы с учетом отчисляемого фирмой налога, если налог взимается в размере t д.е. с единицы реализованной продукции.

Определить объем оптимального выпуска в зависимости от размера налоговой ставки. Построить график этой зависимости. Исходные данные (функция полных затрат фирмы и функция спроса на  произведенный фирмой продукт)  взять из приложения 2.

Получить зависимость максимальной прибыли от размера налоговой ставки. Построить график этой зависимости. Определить точку замирания деловой активности фирмы.

Составить математическую модель получения государством дохода от взимания налога с рассматриваемой фирмы.  Определить размер оптимальной налоговой ставки. Сравнить ее с точкой замирания деловой активности. Построить кривую Лаффера.

Задание 3.  Построить множество производственных возможностей фирмы, которое отражает производственные возможности фирмы использующей два вида ресурсов, если затраты на используемые ресурсы не могут превышать C₀ д. ед. Цены на ресурсы и ограничение на издержки приведены в приложении 3.

Составить математическую модель фирмы, использующей два вида ресурсов для выпуска одного вида продукции. Определить максимально возможный  объем выпуска  для заданного ограничения на издержки. Производственная функция F(K,L) = Q  приведены в приложении 3. Вычислить объемы используемых при этом ресурсов.

Вывести уравнения функций спроса на первый и второй ресурсы. Построить кривые, отражающие зависимость спроса на ресурсы от цен на них.

Задание 4. Построить изокванты производственной функции Q=F(K,L). Вычислить предельную производительность каждого из ресурсов. Производственная функция и значение выпуска F(K,L) = Q₀  приведены в приложении 4.

Составить математическую модель фирмы, использующей два вида ресурсов для выпуска одного вида продукции в количестве F(K,L) = Q_{0 .} Определить минимальный объем затрат необходимых для этого выпуска. Вычислить используемые для этого объемы ресурсов.

Задание 5. Составить математическую модель двухпродуктовой фирмы и сформулировать задачу принятия решения. Исходные данные (функция полных затрат фирмы и функции спроса на  произведенные фирмой продукты)  взять из приложения 5. Определить оптимальный объем выпуска, то есть объемы продукции, при которых достигается максимальная прибыль. Для полученных объемов вычислить издержки фирмы.

На плоскости Q₁OQ₂ построить линию постоянных издержек C(Q₁,Q₂)=C₀ и множество производственных возможностей, ограниченное издержками производства в объеме C=C₀ (C(Q₁,Q₂)£C₀) (значение C₀ приведено в приложении 5).

Определить возможность выпуска оптимального объема продукции при заданном ограничении на издержки C=C₀.

Определить, при каких объемах выпуска продукции достигается максимум прибыли, если полные издержки не превосходят C=C₀ .

Задание 6. Построить бюджетное множество, которое отражает покупательные возможности потребителя двух товаров, если на приобретение этих товаров расходуется не более M д.ед. Цены на товары и ограничение на бюджет приведены в приложении 6.

Построить линии безразличия функции полезности U= U(X,Y) потребителя двух товаров. Функция полезности и значение полезности U(X,Y)=U₀ приведены в приложении 6.

Составить математическую модель потребителя двух товаров. Определить оптимальный объем покупки для заданной функции полезности и ограничении на бюджет.

Вывести уравнения функций спроса на первый и второй товары. Построить кривые, отражающие зависимость спроса от цен на товары и от дохода потребителя.

Определить минимальный объем компенсации дохода при увеличении цены на первый товар на одну денежную единицу необходимого:

а) для сохранения объема покупки на прежнем уровне;

б) для сохранения получаемой полезности на прежнем уровне.

Сравнить полученные результаты.

Задание 7. Динамика процентной ставки r в классической макромодели определяется уравнением dr/dt=(I(r)–S(r))/a, где функции инвестиций I=I(r) и сбережений S=S(r)приведены в приложении 7.

Найти равновесное значение процентной ставки r_e.

Вывести уравнение изменения размера  процентной ставки со временем r=r(t). Размер процентной ставки r₀ в момент времени t=0 приведен в приложении 7. Построить график полученной зависимости. Определить возможность установления равновесия. Выяснить, будет ли равновесие устойчивым. Ответ обосновать.

Задание 8. Динамика реальной заработной платы w в классической макромодели определяется уравнением dw/dt=(N_d (w) – Ns (w))/a, где функции спроса N_d = N_d (w) и предложения Ns = Ns (w) рабочей силы приведены в приложении 8.

Найти равновесное значение реальной заработной платы w_e.

Вывести уравнение изменения размера реальной заработной платы со временем w = w(t). Размер реальной заработной платы w₀ в момент времени t=0 приведен в приложении 8. Построить график полученной зависимости. Определить возможность установления равновесия. Выяснить, будет ли равновесие устойчивым. Ответ обосновать.

Задание 9. Динамика основных производственных фондов некоторой отрасли определяется уравнением  dK/dt=I–mK, где объем инвестиций I и коэффициент выбытия фондов m приведены в приложении 9.

Вывести уравнение изменения объема производственных фондов со временем K=K(t). Объем производственных фондов K₀ в момент времени t=0 приведен в приложении 9. Построить график полученной зависимости. Определить, будет ли объем производственных фондов увеличиваться или сокращаться. До какого объема возможно увеличение (сокращение) производственных фондов?  Ответ обосновать.

5.3. Организация выполнения курсового проекта

Студент выполняет только те задания, которые соответствуют номеру его варианта.

Первый вариант выполняет 1;3;5;6;7;9 задания.

Второй вариант выполняет 2;4;5;6;8;9 задания.

Вариант определяется следующим образом: если номер студенческого билета нечетный, то студент выполняет первый вариант, а если номер студенческого билета четный, то студент выполняет второй вариант Данные для заданий студент берет из соответствующего приложения. Номер набора данных выбирается по последней цифре номера студенческого билета. Если последняя цифра номера ноль, то студент выбирает из соответствующего приложения набор данных под цифрой десять.

Курсовая работа выполняется аккуратно на одной стороне листа стандартного формата. Графики строятся черными или цветными карандашами на обычной или миллиметровой бумаге. Текст работы должен содержать все необходимые расчеты и пояснения. В курсовом проекте обязательно оглавление и сквозная нумерация всех листов. Образец титульного листа содержится в приложении 10. Листы с текстом курсовой работы должны быть сшиты.

Курсовая работа сдается в учебный отдел ИЗО не позднее чем за 1 месяц до экзаменационной сессии. При защите курсового проекта студент должен показать знание теоретического курса и умение математически формулировать, решать и анализировать конкретные экономические задачи.

5.4. Методические указания по выполнению курсового проекта

5.4.1.Методические указания по выполнению заданий 1 и 2.

Модель однопродуктовой фирмы.

Однопродуктовая фирма производит Q (quantity) единиц продукции.

Зависимость между объемом произведенной продукции и минимально необходимыми затратами ее производства называется функцией затрат (издержек). Когда объем производства превышает единицу, тогда различают общие затраты С(Q) (cost) – на весь выпуск, средние затраты АС(Q) (average cost), АС(Q)= С(Q)/Q  – на единицу продукции и предельные затраты MC(Q) (marginal cost), MC(Q)= C¢(Q) как приращение общих затрат при увеличении выпуска на единицу.

Выручка фирмы от продаж Q  единиц продукции называется доходом фирмы  R(Q) (return, revenue), R(Q)= P(Q)×Q, где  Р(Q) – зависимость цены Р (price) от объема продукции. Аналогично вводится средний доход АR(Q)= R(Q)/Q и предельный доход МR(Q)= R¢(Q).

Прибыль I (input) есть разность между выручкой и полными издержками на производство и реализацию продукции: I(Q) = R(Q) – C(Q). Фирма стремится получать максимум прибыли. Условие максимума прибыли (необходимое):

I¢(Q) = R¢(Q) – C¢(Q) = 0,  или  MR(Q) = MC(Q).

Функция предложения по цене Q_S(P) (supply) – зависимость между ценой блага и объемом его предложения. При неизменных ценах (в условиях совершенной конкуренции) прибыль фирмы достигает максимума, когда MC(Q) = P. Это уравнение определяет объем предложения фирмы на рынке благ.

Функция спроса по цене Q_D(P) (demand) – зависимость между ценой блага и объемом его спроса.

Пример. Функция полных издержек некоторой фирмы задана уравнением С(Q)=2Q+1000(тыс. д. ед.), где Q – объем производства (число единиц продукции). При этом цена производимой продукции на рынке равна 4 тыс. д. ед. за ед. продукции.

При каких значениях объема производства прибыль фирмы положительна?

Решение.  прибыль фирмы определяется как доход (выручка от продаж) минус полные издержки производства. Поэтому 1(Q)=4Q –(2Q + 1000). Условие 1(Q) > 0, т.е. 2Q – 1000 > 0 приводит к решению Q > 500. Итак, при Q < 500 прибыль отрицательна (в этом случае издержки производства превосходят выручку от продажи), а при Q > 500 прибыль положительна (выручка от продажи превосходит издержки производства). При Q =500 фирма  прибыли получать не будет, но и не будет нести убытки.

Ответ: Q>500 ед.

Пример. Функция спроса имеет вид Q(P)=2100-6×P.

1) вывести уравнение функции дохода.

2) построить графики этой функции и функций среднего Y=AR(Q) и предельного дохода Y=MR(Q).

Решение. Поскольку максимальная цена, при которой может быть продан товар в количестве Q, определяется при помощи функции спроса Q=Q(P), имеем

Р(Q)=(2100-Q)/6=350-Q/6. Тогда доход (выручка от продаж) определяется равенством R(Q)=P×Q=(350-Q/6)×Q.

график функции R=R(Q) в рассматриваемой задаче представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Корнями функции R=R(Q) являются: Q₁=0 и Q₂=2100. Максимум функции достигается при Q_в=1050, причем R_max=(1050×1050)/6=183750.

График линии дохода.                      Графики линий среднего и предельного дохода.

Для среднего и предельного доходов в случае линейной функции спроса (в этом случае P(Q)=a–bQ и R(Q)=aQ-bQ²) получаем:

AR = P(Q) = a-bQ; MR = R'(Q)=a-2bQ.

Последнее означает, что линии предельного и среднего дохода отсекают на оси ординат равные отрезки длиной «а», а на оси абсцисс отрезок, отсекаемый линией средних издержек, вдвое превосходит отрезок, отсекаемый линией предельных издержек. В данной задаче AR(Q)=350-Q/6, MR(Q)=350–Q/3; графики этих функций приведены на рисунке.

Ответ :R(Q)=(2100-Q)×Q/6.

Пример. Кривая «затраты – выпуск» (функция полных издержек) имеет вид C(Q) = Q² + 4Q +15. Построить графики функций полных издержек Y = C(Q), предельных издержек Y = MC(Q) и средних издержек Y = AC(Q).

Решение. График функции полных издержек C(Q) = Q² + 4Q +15 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, вершина имеет координаты (-2; 11), точек пересечения с осью OQ нет, ось OY парабола пересекает в точке с координатами (0; 15). Обратите внимание, что C(0)=15 это значение фиксированных издержек.

График функции предельных издержек MC(Q) = C¢^¢ (Q) = 2Q + 4 представляет собой прямую проходящую через точки с координатами (0; 4) и (-2; 0). Обратите внимание, что координата второй точки Q = -2 является также координатой вершины Q_в = -2 графика функции полных издержек.

График функции средних издержек AC(Q) = C(Q) / Q = Q + 4 + 15/ Q представляет собой гиперболу с наклонной асимптотой Y = Q + 4 и вертикальной асимптотой Q = 0. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях. Так как AC¢^¢ (Q) = 1 – 15 / Q² = 0 при

Q =±Ö15, то точка с координатами (Ö15; 4+2Ö15) является точкой минимума, а точка с координатами (-Ö15; 4-2Ö15) является точкой максимума. Графики всех трех функций представлены на рисунке. Обратите внимание на то, что графики построены только для неотрицательных значений переменной Q.

Так же стоит отметить, что графики функций предельных и средних издержек всегда пересекаются в точки минимума последнего, т.е., для нашей задачи, в точке с координатами (Ö15; 4+2Ö15).

Пример.  Заданы функция дохода R(Q)=40Q-4Q² и функция полных издержек фирмы С(Q)=2Q²+4Q+10.

Требуется определить, при каком объеме выпуска продукции достигается максимум прибыли.

Решение. Прибыль фирмы определяется как разность между доходом и полными издержками: I(Q) = R(Q) – C(Q), и из необходимого условия экстремума I‘(Q)=0 находим оптимальный выпуск. Так как функция прибыли определяется соотношением I(Q)=40Q–4Q²-2Q²-4Q–10= -6Q²+36Q-10, то графиком функции прибыли является парабола, ветви которой направлены вниз. Максимальное значение прибыли достигается при Q=Q_в =3 и равно I(3) = 36 3 – 6×3² –10 =44.

Ответ: Q=3ед.

5.4.2. Методические указания по выполнению заданий 3 и 4.

Модель производства.

Производственной функцией Q=Q(K,L) называется зависимость выпуска продукции Q от производственных факторов: капитала K(capital) и труда L(labоuг).

Изоквантой называется линия постоянного выпуска: Q(K,L)= Q₀.

Изокостой  называется линия постоянных издержек: C(K,L)=С₀.

Основные задачи модели производства:

Пример. Найти наибольший выпуск производства Q=Q(K,L) при ограниченных издержках C(K,L)= P_KK+P_LL £ C₀ (P_K –цена единицы капитала, P_L – цена единицы труда).

Задача №2. Найти наименьшие издержки C(K,L) = P_KK+P_LL для производства Q₀ единиц продукции.

Обе задачи являются задачами нахождения  условного экстремума. Для их решения составляют функцию Лагранжа L(K,L,l), где l – множитель Лагранжа, и находят  ее критические точки.

Геометрический смысл решения: в этой точке изокванта касается изокосты, то есть вектор grad С(P_K;P_L) коллинеарен вектору qrad Q(), и точка принадлежит заданной изокосте (изокванте). Это позволяет составить систему уравнений для решения каждой задачи.

Система уравнений для решения задачи №1:        .

Система уравнений для решения задачи №2:        .

Пример. Производственная функция однопродуктовой фирмы, использующей два вида ресурсов – труд (L) и капитал (К), имеет вид Q = 10L^0,5K^0,5.

Построить изокванты (линии постоянного выпуска), соответствующие значениям выпуска продукции в объемах Q = 10 ед., Q = 20 ед. и Q = 30 ед.

Решение. Преобразовав уравнение производственной функции, получаем LK=(Q/10)². Поэтому для изокванты Q =10 получаем уравнение LK=1 или K=1 /L. Точно так же для изокванты Q =20 получаем K=4 /L, а для изокванты Q = 30 – K=9 /L. Графики этих изоквант (гипербол) изображены на рисунке.

5.4.3. Методические указания по выполнению задания 5.

Модель двухпродуктовой фирмы.

Двухпродуктовая фирма производит q₁ единиц товара А и q₂ единиц товара В.

С(Q₁,q₂) – совокупные издержки на производство этих товаров. Фирма реализует товар А по цене Р₁=Р₁(Q₁), а товар В – по цене Р₂ =Р₂(Q₂), получая от продаж доход

R(Q₁,q₂) = Р₁(Q₁)Q₁+Р₂(Q₂)Q₂. Если фирма максимизирует свою прибыль, равную I(Q₁,Q₂)= R(Q_1,q₂)-C(Q₁,Q₂), то оптимальный выпуск товаров (Q₁^опт.;q₂^опт.) определяется системой уравнений:        (необходимое условие экстремума функции I(Q₁,Q₂)). Для максимизации прибыли должно выполняться в точке оптимального выпуска  (Q₁^опт.;q₂^опт.) достаточное условие экстремума функции прибыли I(Q₁,Q₂):

Множество производственных возможностей, ограниченное издержками производства в объеме С(Q₁,q₂)=С₀, определяется системой неравенств: С(Q₁,q₂)£С₀, Q₁³0, q₂³0.

Если фирма максимизирует свою прибыль при ограниченных издержках С(Q₁,q₂)£С₀, то оптимальный выпуск товаров определяется системой уравнений:

, что имеет геометрический смысл –  искомая точка (Q₁;Q₂) лежит на линии постоянных издержек С(Q₁,q₂)=С_0, и в этой точке вектор grad R= коллинеарен вектору grad C= .

Пример. Функция полных издержек двухпродуктовой фирмы задана уравнением С(Q₁,Q₂) = Q₁² + 4Q₂² + 100, где Q₁ и Q₂ – объемы выпуска товаров вида  А и В соответственно. На плоскости Q₁OQ₂ построить:

а) линию постоянных издержек, равных 1000 д. ед.;

б) множество производственных возможностей, ограниченное издержками производства в объеме, равном 1000 д. ед.

Решение. 1) Линия постоянных издержек, равных 1000 д. ед., задается уравнением Q₁²+ 4Q₂² + 100 = 1000, откуда следует, что на плоскости ХОY эта линия задает эллипс, каноническое уравнение которого имеет вид Q₁²/900+ Q₂²/225 = 1.

При этом эллипс отсекает на осях ОQ₁ и ОQ₂ отрезки, равные  30 ед. и 15 ед. соответственно.

  2) Множество производственных возможностей, ограниченное издержками производства в объеме 1000 д. ед., определяется неравенствами Q₁²/900+Q₂²/225£1, 0£Q₁,0£Q₂, которые задают криволинейный треугольник (первая четверть эллипса).

Пример. Функция полных издержек двухпродуктовой фирмы задана уравнением C(Q,Q)= Q₁²+ 4Q₂² + 100, где Q₁ и Q₂ – объемы выпуска товаров вида А и В cоответственно. Цены этих товаров на рынке равны P₁=40 д. ед. и Р₂=64 д. ед. соответственно. Определить, при каких издержках достигается максимум прибыли фирмы.

Решение. Поскольку прибыль равна разности между доходом от продаж и полными издержками производства, то I(Q₁,Q₂)=P₁Q₁+P₂Q₂ –C(Q₁,Q₂). В силу условия задачи имеем I(Q₁,Q₂)=40Q₁+64Q₂–Q²-4Q₂²-100. Это выражение преобразуется к виду I(Q₁,Q₂)= -(Q₁-20)² +400- 4(Q₂-8)² +256-100= -(Q₁-20)² -4(Q₂-8)² +556,

откуда следует, что I £ 556. Максимальное значение прибыли I =556 достигается при Q₁=20 и Q₂=8; издержки производства, соответствующие этим значениям объемов производства, составляют С(20,8)=400+4×64+100=756 (д. ед.).

Ответ: 756 д. ед.

Пример. Фирма производит товар двух видов в количествах Q₁ и Q₂. Функции полных издержек фирмы и спроса на каждый из этих товаров заданы в виде:

С(Q₁,Q₂)=2Q₁+4Q₂+1, P₁(Q₁)=20-Q₁, Р₂(Q₂)=30-Q₂, где P₁ и Р₂ ­ соответствующие цены. Определить, при каких объемах выпуска продукции достигается максимум прибыли, если полные издержки не превосходят 61 д. ед.

Решение. Функция прибыли I(Q₁,Q₂) = (20-Q₁)Q₁+ (З0-Q₂)Q₂– 2Q₁– 4Q₂– l =

=249- (Q₁-9)² – (Q₂-13)² ³ 249. Таким образом, максимум прибыли равен 249 д. ед. Однако объем производства Q₁=9 и Q₂=13 не достижим, поскольку соответствующие ему издержки производства составляют С=2×9+4×13+1=71 д. ед., что превышает 61 д. ед.

Поэтому решаем задачу на нахождение условного экстремума. Для этого составим функцию Лагранжа L(Q₁,Q₂)=20Q₁–Q₂²+30Q₂–Q₂² -l(2Q₁+4Q₂+1-61), где

l – множитель Лагранжа, и найдем ее критические точки:.

Откуда следует: Q₁=8, Q₂=11. При этом оптимальное значение прибыли равно 244 д. ед., издержки производства составляют С(8,11)=2×8+4×11+1=61 (д. ед.), а доход от продаж R(8,11)=12× 8+19×11=305 (д. ед.).

Графическая интерпретация полученного результата: так как линии уровня функции прибыли представляют собой концентрические окружности с центром в точке А(9; 13), то решение задачи достигается на линии С(Q₁,Q₂)=2Q₁+4Q₂+1=61 в точке В.

                8   9                  30

                                                                                  Ответ: Q₁=8 ед., Q₂=11ед.

5.4.4. Методические указания по выполнению задания 6.

Модель поведения потребителя.

Набор благ , где х_i – количество i–блага.

Набор цен  , где р_i– цена i-блага.

Бюджетное ограничение , где М – доход потребителя этих благ, образует бюджетное множество.

Функция полезности (utility) U(x₁; x₂;… x_n) –«количественное» отношение потребителя к данному набору благ.

Предельные полезности благ M(marginal utilities).

Норма замены благ (marginal rate of substitution) MR

показывает, на сколько изменится потребление блага х_j при уменьшении потребления блага х_i на единицу.

Множество точек  , для которых выполнено условие

U(x₁; x₂;… x_n)=const, образует гиперповерхность безразличия (если   n=2, то линию безразличия).

Основные задачи модели потребителя:

Задача №1. Найти наибольшую полезность U(x₁; x₂;… x_n) при ограниченном бюджете

 р₁ х₁ + р₂ х₂  + …+ р_n х_n £ М.

Задача №2. Найти наименьший бюджет М = р₁ х₁ + р₂ х₂  + …+ р_n х_n  для получения заданной полезности U(x₁; x₂;… x_n) = U₀ .

Задача №3.На основе максимизации функции полезности вывести функции спроса на продукты.

Все задачи являются задачами на условный экстремум. Для их решения составляют функцию Лагранжа  и находят ее критические точки, то есть решают систему уравнений:  Найденная точка

 = (x₁, x_{2,  …} x_n) называется точкой спроса. В общем случае точки спроса зависят от цен и дохода:  = (p₁, p₂,.. p_n,M).

Для случая n=2 (т.е. рассматривается модель двух товаров) геометрический смысл решения: в этой точке спроса линия безразличия касается бюджетной прямой. Это позволяет составить систему уравнений для решения каждой задачи.

Система уравнений для решения задачи №1: , где цены на продукты и доход потребителя заданы.

Система уравнений для решения задачи №2:

Система уравнений для решения задачи №3: , где цены на продукты и доход потребителя являются параметрами.

Пример. Построить бюджетное множество, которое отражает покупательные возможности потребителя двух товаров, если на приобретение этих товаров расходуется не более 10 000 д. ед. Известно, что цены товаров равны 250 д. ед. и 500 д. ед. соответственно.

Решение. Если первый товар покупается в количестве x единиц, а второй – в количестве y единиц, то за покупку будет заплачено 250x+ 500y  д. ед., и эта сумма не может превышать 10 000 д. ед. Следовательно, 250x+ 500y £ 10 000.

Бюджетное множество задается условием и представляет собой на плоскости ХОУ треугольник ОАВ. Точки А и В имеют координаты (М/Р₁;0)

и (0;М/Р₂) соответственно. Верхняя граница бюджетного множества называется бюджетной линией. Уравнение бюджетной линии имеет вид 25 х + 50 у = 1000.

Отметим, что тангенс наклона бюджетной  линии равен  tgC= P₁/P₂ = 0,5.

5.4.3. Методические указания по выполнению заданий 7,8 и 9.

 Динамические модели установления равновесия.

В динамических задачах отражается зависимость переменных от времени. Время в динамических моделях может рассматриваться как непрерывное так и дискретное. В дискретных моделях все переменные на промежутке времени [t; t+ 1) считаются постоянными.

Основные показатели, характеризующие динамику экономического объекта.

1) Абсолютный прирост:

для дискретной модели DA_t= A_t – A_t–1;

для непрерывной модели DA(t) = A(t+Dt)-A(t).

2) Темп прироста (grow`s rate).

для дискретной модели  g_t =

Если темп прироста g_t постоянен и равен g , то динамика величины А_t может быть описана как А_t  =А₀ (1+ g)^t.

для непрерывной модели g(t) =

Если в непрерывной модели перейти к мгновенному изменению времени (Dt®0), то g(t)=  При постоянном темпе прироста g(t) = g динамику величины

А( t) можно записать как А(t) =  a(0) e^gt .

Равновесие – это такое состояние объекта, которое он сохраняет во времени при отсутствии внешних воздействий. Пусть А_e – равновесное состояние величины А(t). Состояние равновесия устойчиво, если при отклонении А(t)>A_e динамика системы такова, что величина А(t) будет убывать, то есть возвращаться к состоянию равновесия. Если же изменение А(t)<А_e , то для того, чтобы система вернулась к состоянию равновесия,  величина А(t) должна возрастать.

Пример. Динамика процентной ставки r в классической макромодели  определяется уравнением dr/dt = (I(r)–S(r))/6, где функции инвестиций I(r) и сбережений S(r) заданы в виде I(r) = 20000-(r– 0,1)/10, S(r)= 20000 + (r–0,1)/ 5.

Вывести уравнение динамики процентной ставки r=r(t), если при t=0 ее значение равно r=0,13. Определить уровень процентной ставки r при t=20.

Решение. Из условия задачи следует, что dr/dt = -0,05×(r – 0,1). разделяя переменные, получаем d(r-0,l)/(r -0,l)= –dt/20, что приводит к следующему решению

r(t) = 0,1 + 0,03×e^{– t/20}. Подставляя в полученное решение t=20, получаем r(20) = 0,1 + 0,03/е » 0,11.

Ответ: r(20) » 0,11.

Пример. Динамика величины А(t) задана дифференциальным уравнением

A¢(t)=k (А(t)-A_e). Показать, что состояние равновесия  A_e будет устойчиво, если k<0.

Решение. Если  А(t)>A_e ,то А(t)-A_e>0 и, следовательно, A¢(t) < 0, то есть функция А(t) убывает; если  А(t)< A_e ,то А(t)- A_e<0 и, следовательно, A¢(t) > 0, то есть функция А(t) возрастает. При k > 0 и А(t)>A_e   A¢(t) > 0, то есть А(t) возрастает и система продолжает уходить от состояния равновесия. Аналогично, если А(t)< A_e .

Пример. Динамика основных производственных фондов некоторой отрасли определяется уравнением dK/dt = I – mK, где K – основные фонды,  I – инвестиции, m – коэффициент выбытия фондов. Вывести уравнение динамики основных производственных фондов K= K(t),  если инвестиции и коэффициент выбытия фондов постоянны и равны I=50 и m=0.1 соответственно, а при t=0 объем основных фондов K=1000.

Решение. Из условия задачи следует  dK/dt = 50 – 0,1K,  откуда получаем  dK/d(K-500) = -0,1dt,  что приводит к следующему решению: K = 500 + 500e^-0,1t

Ответ: K = 500 + 500e^-0,1t .